设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可
设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换,则B也与A*可交换。
设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换,则B也与A*可交换。
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若
(i)A为自伴的或
(ii)A为正规的且数域K为
求证:存在纯量t1,t2,…,tm存在Y1,Y2,…,Ym为两两正交的H的子空间,使得任取x∈H
x=y1+y2+…+ym, yi∈Yi,
A(x)=t1y1+…+tmym
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得:任取n≠m有PnPm=0,
, x∈H (40)
cn→0,每一个R(Pn)都为有限维子空间。求证:
(a)A为紧正规的。
(b){cn}为A不同的特征值的全体。
(c)R(Pn)为对应于cn的特征空间。
设H为复Hilbert空间,A为H上的正规算子。求证:若σ(A)={0},则A=0。证明这在下述情形下均不成立:
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证:存在有限或无限单调下降的正数列{αn},存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
, z∈H, (6)
, x∈H。 (7)
设H为复Hilbert空间,W为所有BL(H)中自伴算子之集,W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W,记
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证:U为从W到W1的一一映射,其逆由下式给出:
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1, B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
设A为Hilbert空间H上的酉算子,设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证:
(a)
(b)
设A∈BL(H),H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的,求证:
举例说明上述不等式可以是严格的。
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0