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证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2∈I,函数φ(λ)![证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2∈I,函数φ（λ)为[0,1]上的凸函数.证明:f为](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-02-04/981304012966332.png)
为[0,1]上的凸函数.
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证明:
(1)若f为凸函数,
为非负数,则f为凸函数;
(2)若f,g均为凸函数,则f+g为凸函数;
(3)若f为区间I上凸函数,g为J
f(I)上凸增函数,则g.f为I上凸函数.
记In(f)为求积分
的n点Gauss-Legendre公式。证明：对任何连续函数f(x)，当n→∞时，In(f)→I(f)。
设f(x)在[a，b)]上连续且非负，试证∫abf(x)dx=0的充要条件是在[a，b]上f(x)≡0．
证 充分性是显然的，以下证明必要性．
设函数f(x)定义在区间1上,如果对于任何
证明:在区间I的任何闭子区间上f(r)有界.
设函数f(x)在[0，1]上为非负连续函数，且f(0)=f(1)=0，试证明：对任何一个小于1的正数l，必有点ξ∈[0，1)，使得f(ξ)=f(ξ+l)
设f(x)是(a，b)上的递增函数，
试证明f'(x)=0，a. e．x∈E．
f(x)、g(x)都在R上定义，f(x)是单调增加函数，对任何x∈R，又有f(x)≤g(x)．证明：f[f(x)]≤g[g(x)]对任何x∈R成立．
设f是定义在R上函数,且对任何x1,x2∈R,都有
若f'(0)=1,证明对任何x∈R,都有
设函数f(x)，g(x)，h(x)都是区间I上的单调增加函数，对
f(x)≤g(x)≤h(x)， (1)
证明
f[f(x)]≤g[g(x)]≤h[h(x)]，
