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设D为开区域，f(x，y)，g(x，y)均为D上的可微函数，且在D内的任一点处，g的梯度不为零向量，又设Γ是由g(x，y)=C定义的曲线(这里C为某一实常数)，且(x0，y0)是曲线Γ上一点，若点(x0，y0)是f(x，y)限制在Γ上的最大值点(或者最小值点)，试证存在实数λ使
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设函数f(x，y)，g(x，y)在有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0,证明存在点(ξ，η)∈D，使
证明f(x0, y0)=g(x0, y0)=0 当且仅当方程组
在(x0, y0)的任意邻域内都有时间长为任意大的轨道段.这里我们把方程的解(x(t).y(t))看成xy平面上以t为参数的曲线，称为轨道.
设函数f(x，y)和g(x，y)都在有界闭区域D上连续，g(x，y)≥0，则必有一点(ξ，η)∈D，使
设D是平面有界闭区域，f(x，y)与g(x，y)都在D上连续，且g(x，y)在D上不变号，证明：存在(ε，η)∈D，使得
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．
关于二重极限有下列两种定义，试分析比较它们之间的差异何在？
定义1 设二元函数f(P)=f(x，y)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P(x，y)∈D∩U(P0，δ)时，都有
|f(P)-A|=|f(x,y)-A|＜ε
成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限．
定义2 设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式
的一切点P(x，y)∈D，都有
|f(x，y)-A|＜ε
成立，刚称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限.
设D是一个开区域，Γ：x=x(t)，y=y(t)，(a＜t＜b)，是区域D内的一条光滑曲线，点(x0，y0)是Γ上一点，又设f(x，y)是定义在D上的可微函数，若点(x0，y0)是f(x，y)在Γ上的最大值点，(即对于Γ上的任意点(x，y)有f(x，y)≤f(x0，y0))，则f(x，y)在点(x0，y0)处的梯度向量与Γ在该点处的切向量垂直．
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的闭区域为D={(x，y)|x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h=f(x，y)=75-x2-y2+xy.
(1)设M(x0，y0)∈D，问f(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若把此方向导数的最大值记为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式．
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀岩起点的位置．
设X，Y，Z为赋范空间，F∈BL(X，Y)，G∈BL(Y，Z)。求证：(G·F)'=F'·G'
