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设f(x)在[a，b)]上连续且非负，试证∫abf(x)dx=0的充要条件是在[a，b]上f(x)≡0．
证 充分性是显然的，以下证明必要性．
![试证明：设f（x)，g（x)在[a，b]上连续，则。试证明：设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-07/97618745272277.jpg)
。试证明：
设fn∈C(1)((a，b))(n=1，2，…)，且有
若存在f'(x)，F(x)在(a，b)上连续，则f'(x)=F(x)，x∈(a，b)．
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f（1/2）=1,试证明至少存在一点ξ∈（0,1）,使得f`（ξ）=1.
设f(x)在[a,b]上连续,x1,x2,x3.xn∈[a,b],且t1+t2+t3+.+tn=1,ti＞0,i=1,2,3...,n.证明：存在x0∈[a,b],使得f(x0)=t1f(x1) + t2f(x2) + .+ tnf(xn).
利用归结原则证明：lim n→无穷 (1+1/n+1/n^2)^n=e.
设f(x)及g(x)在[a，b]上连续，证明：
(1)若在[a，b]上，f(x)≥0，且![设f（x)及g（x)在[a，b]上连续，证明： （1)若在[a，b]上，f（x)≥0，且，则在[a](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6684001-6687000/d11adfe6ae1bfaa04748dd8d0b0b5b56.png)
则在[a，b]上f(x)≡0；
(2)若在[a，b]上，f(x)≥0，且f(x)≠0，则![设f（x)及g（x)在[a，b]上连续，证明： （1)若在[a，b]上，f（x)≥0，且，则在[a](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6684001-6687000/16589ae550a0e3856e087283b7b2a2a4.png)
;
(3)若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且![设f（x)及g（x)在[a，b]上连续，证明： （1)若在[a，b]上，f（x)≥0，且，则在[a](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6684001-6687000/671098b83271e834560f17d3e29e5b68.png)
则在[a，b]上f(x)≡g(x)。
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0证明：如果f(x)在(0,1)内不恒等于零，则必定存在一点ξ∈(0，1)，使f(ξ)·f'(ξ)＞0
试证明柯西积分判别法
设f(x)在x≥1上非负、连续且单调减，则级数∑n=1+∞f(n)与广义积分∫1+∞f(x)dx同敛散．
设f(x)及g(x)在[a,b]上连续，证明:
(1)若在[a,b]上, f(x)≥0,且 ∫baf(x)dx=0,则在[a, b]上,f(x)= 0;
(2)若在[a,b]上,f(x)≥0，且f(x)≠0,则∫baf(x)dx＞0;
(3)若在[a,b]上，f(x)≥g(x),且∫baf(x)dx=∫bag(x)dx,.则在[a,b]上f(x)=g(x)
设f(x)及g(x)在[a,b]上连续,证明
(1)若在[a,b]上,f(x)≥0,且![设f（x)及g（x)在[a,b]上连续,证明（1)若在[a,b]上,f（x)≥0,且f（x)dx=](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-12/9740382471629.png)
f(x)dx= 0,则在[a,b]上f(x)=0;
(2)若在[a,b]上,f(x)≥0,且f(x)≠0,则f(x)dx＞0;
(3)若在[a,b]上,f(x)≤g(x),且f(x)dx=g(x)dx, 则在[a,b]上f(x)=g(x).
