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设马氏链{Xn，n≥0}的状态空间为I={1，2，3}，初始分布为
一步转移概率矩阵为
(1) 计算P{X0=1，X1=2，X2=2}．
(2) 证明P{X1=2，X2=2|X0=1}=p12p22．
(3) 计算P12(2)=P{X2=2|X0=1}．
(4) 计算p2(2)=P{X2=2}．
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设马尔可夫链有状态0，1，2，3和转移概率矩阵
试求f00(n)(n=1，2，3，4，5，…)，其中fij(n)由P{Xn=i，Xk≠i，k=1，…，n一1｜X0=i}定义．
在成败型的重复试验中，每次试验结果为成功(S)或失败(F)．同一结果相继出现称为一个游程(run)，比如一串结果“FSSFFFS”中共有两个成功游程，三个失败游程．设成功概率为p，失败概率为q=1一p．记Xn为n次试验后成功游程的长度(若第n次试验失败，则Xn=0)．试证{Xn，n=1，2，…)为一马尔可夫链，并确定其转移概率矩阵；记T为返回状态0的时间，试求T的分布及均值，并由此对这一马尔可夫链的状态进行分类．
设{X(n)，n≥0}为一齐次马尔可夫链，其状态空间E={0,1,2},初始状态的概率分布为
一个服务网络由k个工作站v1,v2,···,vk切依次申接而成,当某种服务请求到达工作站vi时,vi能够处理的概率为pi,转往下一站vi+1.处理的概率为qi(i=1,2,···,k-1.设qk=0),拒绝处理的概率为ri,满足
试构造马氏链模型,确定到达日的请求平均经过多少工作站才能获得接受处理或拒绝处理的结果,被接受和拒绝的概率各多大。
考虑状态0，1，2上的一个马尔可夫链Xn(n≥0)，它有转移概率矩阵P， 初始分布为p0=0．3，p1=0．4，p2=0．3．试求概率P{X0=0，X1=1，X2=2)．
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体N(0，σ2)的样本，
为其样本均值，记 Yi=Xi—
，i=1，2，…，n． (1)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n； (2)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (3)若c(Y1+Yn)2是σ2的无偏估计，求常数c．
考虑三个状态E={0，1，2}的马尔可夫链{Xn，n≥0}，其转移概率矩阵为
其中p，q，r＞0，p+q+r=1．这一马尔可夫链从状态1开始，一旦进入状态0或2就无法跳出(称0，2为吸收态)．试求： (1)假如过程从状态1出发，则被状态0(或2)吸收的概率是多少？ (2)平均要多么长的时间，过程会进入吸收态(而永远停在那里)？
设f(x)在[a,b]上连续,x1,x2,x3.xn∈[a,b],且t1+t2+t3+.+tn=1,ti＞0,i=1,2,3...,n.证明：存在x0∈[a,b],使得f(x0)=t1f(x1) + t2f(x2) + .+ tnf(xn).
利用归结原则证明：lim n→无穷 (1+1/n+1/n^2)^n=e.
,而扩散到k个城市之外的那部分污染物永远不再回来.在每个时刻各城市的污染源都排出一定的污染物,记vi排出的为di.按照环境管理条例要求,对充分大的t必须
,试建立马氏链模型,在已知pij和i的条件下确定d的限制范围,满足管理条例的要求。设k=3,pij由矩阵
,求di的范围.
