（i)证明 并由此导出 其中与分别代表体积为V0时的定容热容与压强为p0时的定压热容，它们都只是温度

证明：(i)由
(1)
对V求偏微商，得
(2)
以上第三个等式用到麦克斯韦关系
(3)
注意到C_v是两个独立变量的函数．若选(T，V)为独立变量，确定C_v(T，V)的一般做法是按下列公式
(4)
其中的积分是沿T-V状态空间中从(T₀，V₀)到(T，V)的任意路径完成的．比较简单的做法是把积分路径选成如下的两段直线：
(Ⅰ)：(T₀，V₀)→(T，V₀)(等容过程)；
(Ⅱ)：(T，V₀)→(T，V) (等温过程)．

则(4)式化为

令
(6)
其中积分是在固定体积V=V₀下完成的(省去了(Ⅰ)的标记)．利用(2)，则(5)式可表为
(7)
上式中的积分是在固定温度为T下完成的(标记(Ⅱ)已省去)．由(7)式可以看出，要确定任意(T，V)下的C_v(T，V)，只需知道某固定体积V=V₀下的定容热容(T)(注意它是T的函数)，以及物态方程．这将使实验测量的工作量减少．
类似地，由
(8)
得
(9)
以上第三个等式用到麦克斯韦关系
(10)
选T-p空间时等压过程(p=p₀)与等温过程为积分路径，最后可得
(11)
其中(T)代表保持压强固定为p₀时的定压热容，它只是T的函数．第二项的积分是在保持温度固定为T下完成的．
注意公式(2)，(7)以及(9)，(11)对任何p-V-T系统均成立．
(ii)对理想气体，由物态方程
pV=NRT， (12)
当V固定时，p是T的线性函数；当p固定时，V是T的线性函数，
故有
(13)
(14)
由(2)与(9)式，得
(15)
(16)
亦即理想气体的C_v与C_p都只是温度的函数．
(iii)范德瓦耳斯气体的物态方程为
(17)
在V固定下，p是T的线性函数，故有
(18)
由公式(2)，即得
(19)
表明范德瓦耳斯气体的C_v只是温度的函数，与体积无关．顺便指出，当V→∞时，范德瓦耳斯气体趋于理想气体．既然范德瓦耳斯气体的C_v与V无关，因而任意体积时的C_v与V→∞时的C_v相同．也就是说，范德瓦耳斯气体的C_v与理想气体的定容热容(记为)相等，即
(20)