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[主观题]

设A为实对称非奇异矩阵,且各阶顺序主子式△k≠0,k=1,...n,试证:A可以分解为A=LDLT,其中L为具有正对角元的下三角阵,D为对角矩阵,其对角元|dii|=1。

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第1题
设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,···,n)
设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,···,n)

,二次型

(1)记X=(x1,x2,···,xn)T,试写出二次型f(x1,x2,···,xn)的矩阵形式。

(2)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同,并说明理由。

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第2题
设A为n阶实对称矩阵,r(A)=r,且A2=A。求|E+A+…+Ak|。
设A为n阶实对称矩阵,r(A)=r,且A2=A。求|E+A+…+Ak|。

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第3题
设A为3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=O。已知r(A)=2。(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵。
设A为3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=O。已知r(A)=2。(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵。

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第4题
设A是实对称矩阵,且A2=0,证明A∞0。(提示:注意A的对角线上的元 )
设A是实对称矩阵,且A2=0,证明A∞0。(提示:注意A的对角线上的元 )

设A是实对称矩阵,且A2=0,证明A∞0。

(提示:注意A的对角线上的元)

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第5题
设A是实对称矩阵,且IAI<0,证明:必存在向量x0使

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第6题
设A是n阶实对称矩阵,且|A|<0。证明存在实n维向量x,使得xTAx<0。

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第7题
设A是n阶非奇异矩阵,a为nX1的列矩阵,b为常数,记分块矩阵

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第8题
设A为实对称矩阵,满足A3+2A2+2A+E=O,证明A=-E。

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第9题
设A为n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A2)。
设A为n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A2)。

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第10题
设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.

设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.

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第11题
设3阶实对称矩阵A的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量x=(-1,1,1)',求A。
设3阶实对称矩阵A的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量x=(-1,1,1)',求A。

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