题目内容
（请给出正确答案）
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，
证明 下列命题等价：
(1)P是投影算子；
(2)P2=P且P是自共伴算子；
(3)P2=P，且N(P)上R(P)；
(4)若H是复空间，则还等价于
(Px，x)=‖Px‖2，x∈H
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设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？
根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:
设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证：U为从W到W1的一一映射，其逆由下式给出：
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1， B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
设H为Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设Fn=span{u1，u2，…un}。若Pn为从H到F，，的正交投影．求证：
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
设H为Hilbert空间，P∈BL(H)。求证：
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
设P是Rl中的多面凸集，试证：若存在超平面H={x|ax=β，x∈Rl)，使P与半空间H-={x|ax≤β，x∈Rl)的交为单点集{x(0))，则x(0)必是P的极点．
设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A*可交换。
试计算当质量为m的质点P沿椭圆位于第一象限中的弧移动时力F所做的功.
设集合H={林伟，王莲}，定义其H×H上的关系Loves={(王莲，王莲)，(林伟，王莲)}．
(1)问Loves是自反、对称、传递的吗？
(2)求出Loves的自反闭包．
(3)求出Loves的对称闭包．
