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[主观题]
设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
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设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证：若A与AA*可交换，则A为正规算子，且当A不为紧算子时，这个结论一般不成立。
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。
设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A*可交换。
设H为Hilbert空间，A∈BL(H)，W(A)为A的数值域。求证：
(a)W(A)=ω(UAU-1)，其中U为H上的酉算子
(b)若W(A)至少含有两个点，则W(A)的导集为W(A)
设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证：U为从W到W1的一一映射，其逆由下式给出：
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1， B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
为正算子．证明：AB为正算子当且仅当AB=BA.
