试证明:
设f(x)在[a,b]上非负可积,则
(i)(0<λ<1).
(ii)(λ>1;λ<0).
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有
.
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.①试证存在x0∈(0,1)使得在区间[0,x0]上以fx(0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积;②又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
f'(x)〉-2f(x)/x,证明①中的x0是唯一的。
设f(x)在[a,b)]上连续且非负,试证∫abf(x)dx=0的充要条件是在[a,b]上f(x)≡0.
证 充分性是显然的,以下证明必要性.
设f(x)在[a,b]上连续,且对一切不大于正整数N的非负整数n,都有∫abxnf(x)dx=0,试证f(x)在(a,b)内至少有N+1个零点.
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,c是(0,1)内任意一点,试证:
设函数f(x)在[0,1]上为非负连续函数,且f(0)=f(1)=0,试证明:对任何一个小于1的正数l,必有点ξ∈[0,1),使得f(ξ)=f(ξ+l)
试证明:
设f(x),g(x)是E上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E)