设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足 (β1,β2…βs)=(α1,α2,…αn)A 证明:矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩
设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足 (β1,β2…βs)=(α1,α2,…αn)A 证明:矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩
设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足 (β1,β2…βs)=(α1,α2,…αn)A 证明:矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩
设V是复线性空间,而线性变换T在基底ε1,ε2,…,εn下的矩阵是一Jordan块,证明: (1)V中包含εn的不变子空间只有V本身; (2)V中任一不变子空间都包含ε1; (3)V不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和.
设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.
设V为n维线性空间,σ∈L(V),W≤V,若,则W为σ的不变子空间.
设σ,τ∈L(V),W≤V,若W为τ的不变子空间,则W为σ的不变子空间?
设是n维线性空间V的一组基,又V中向量αn+1在这组基下的坐标全不为零.证明中任意个向量必构成V的一组基,并求a1在基下的坐标.
B.当且仅当向量组α1,α2,…,αn可以由向量组β1,β2,…,βm线性表示
C.当且仅当V的基都是W的基
D.当且仅当dimV≤dimW
若V为n维线性空间,σ,τ∈L(V),且σV=τV,σ-1(0)=τ-1(0),,则.
若,,且σV=τV,则σ-1(0)=τ-1(0)?
设α1,···,αs和β1,···,βt都是n维向量空间V中的向量,证明其中V(α1,···,αs)表示由α1,···,αs所生成的向量空间。
1)设λ1,λ2是线性变换的两个不同特征值,ε1,ε2是分别属于λ1,λ2的特征向量,证明:ε1+ε2不是的特征向量;
2)证明:如果线性空间V的线性变换以V中每个非零向量作为它的特征向量,那么是数乘变换。
设α1,α2,…,αn是一组n维向量,已知n维单位向量组ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明α1,α2,…,αn线性无关,
设α1,α2,…,αs均为n维向量,问:在什么条件下,β1,β2,…,βs是线性无关的?