设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数,证明其中是闭区域Ω的整个边界
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数,证明
其中是闭区域Ω的整个边界曲面,为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数。这个公式叫做格林第一公式.
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数,证明
其中是闭区域Ω的整个边界曲面,为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数。这个公式叫做格林第一公式.
计算下列各题:
(1)设F(u,v)有连续偏导数,方程确定函数z=f(x,y),求
(2)设u=f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和z=z(x)分别由方程和所确定,求du/dx.
设u=f(x,y,z),y=g(x,t),t=v(x,z),其中函数f,g,v都可微,
设函数ψ(u,v)具有连续偏导数,验证方程ψ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=z(x,y)满足
设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c
设φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数
z=f(x,y)满足方程
设u,v都是x,y,z的函数,且都具有连续偏导数,证明:
(2)grad(uv)=vgradu+ugradv.
设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明
其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式.
设Ф(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Ф(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足.
证明下列各题:
(1)设F(u,v)有连续的偏导数,方程F(cx-az,cy-bz)=0确定函数z=f(x,y).试证:
(2)方程确定z是x,y的函数,f有连续的偏导数,且.求证:(设用复合函数求导法计算)
(1) H(SX) () H(X);
(2)h(U) () h(U):
(3) H(X|Y) () H(X|YZ);
(4) H(XY) () H(X)+ H(Y):
(5) I(f(U):g(V)) () I(U;V)。
证明:若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),二阶偏导数连续,而函数u与v满足柯西一黎曼方程:则