题目内容
（请给出正确答案）
设X，Y为内积空间，F：X→Y为线性算子。求证：任取x∈X有
‖F(x)‖=‖x‖ (23)
当且仅当任取x1，x2∈X有
＜F(x1)，F(x2)＞=＜x1，x2＞。 (24)
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设X，y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。若y'∈Y'，定义F'(y')：
F'(y')(x)=y'(F(x))， x∈X
求证：
设μ是X上的正测度，f∈L∞(μ)．定义乘算子(线性)Tf：L2(μ)→L2(μ)使Tf(g)=fg，
设f(x)，g(x)∈C1[a，b]，定义![设f（x)，g（x)∈C1[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-27/975332729593948.jpg)
，问![设f（x)，g（x)∈C1[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-27/975332763758902.jpg)
是否为内积？令空间![设f（x)，g（x)∈C1[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-27/975332777629695.jpg)
若将f，g限制在子空间![设f（x)，g（x)∈C1[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-27/975332884698819.jpg)
中，上述是否构成内积。
在闭区间[a，b]上所有全体实连续函数构成的线性空间C[a，b]，对任意f(x)，g(x)∈C[a，b]，证明二元实函数∫baf(x)g(x)dx为C[a，b]上的内积，从而C[a，b]为一个欧氏空间．
设u1，u2，…，un…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x1，x2…，xn，…}的全体：
∑n=1∞‖xn‖2＜∞
在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义
(x,y)=∑n=1∞(xn，yn)，
这里x={x1，x2，…，xn…}，y={y1，y2，…，yn…}，证明：U是一个内积空间；若所有u0都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，
证明 下列命题等价：
(1)P是投影算子；
(2)P2=P且P是自共伴算子；
(3)P2=P，且N(P)上R(P)；
(4)若H是复空间，则还等价于
(Px，x)=‖Px‖2，x∈H
设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数
‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)
是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。
设X是n维向量空间,在X中取一组基
是nxn矩阵,作X到X中算子如下:当
若规定定向量的范数为
证明上述算子的范数满足
