设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子, 证明 下列命题等价: (1)P是投影算子; (2)P2=P且P是自
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子,
证明 下列命题等价:
(1)P是投影算子;
(2)P2=P且P是自共伴算子;
(3)P2=P,且N(P)上R(P);
(4)若H是复空间,则还等价于
(Px,x)=‖Px‖2,x∈H
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子,
证明 下列命题等价:
(1)P是投影算子;
(2)P2=P且P是自共伴算子;
(3)P2=P,且N(P)上R(P);
(4)若H是复空间,则还等价于
(Px,x)=‖Px‖2,x∈H
设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间?
根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:
设H为复Hilbert空间,W为所有BL(H)中自伴算子之集,W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W,记
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证:U为从W到W1的一一映射,其逆由下式给出:
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1, B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
设H为Hilbert空间,P∈BL(H)。求证:
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
设P是Rl中的多面凸集,试证:若存在超平面H={x|ax=β,x∈Rl),使P与半空间H-={x|ax≤β,x∈Rl)的交为单点集{x(0)),则x(0)必是P的极点.
设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换,则B也与A*可交换。
试计算当质量为m的质点P沿椭圆位于第一象限中的弧移动时力F所做的功.
设集合H={林伟,王莲},定义其H×H上的关系Loves={(王莲,王莲),(林伟,王莲)}.
(1)问Loves是自反、对称、传递的吗?
(2)求出Loves的自反闭包.
(3)求出Loves的对称闭包.