设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正
设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正集,B为μ的负集。(μ的正集定义为:对每个可测集E,E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正集,B为μ的负集。(μ的正集定义为:对每个可测集E,E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
(X,)是可测空间,μ是(X,)上的有限实测度,A∈.若,EA,有μ(E)≥0,则称A为正集.若,EA,有μ(E)≤0,则称A为负集.证明下述的Hahn分解定理:
存在正集A+和负集A-使,A+∪A-=X,且对,有
μ+(E)=μ(A+∩E),μ-(E)=-μ(A-∩E).
这里X的分解(A+,A-)称为μ的Hahn分解.
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0,μ(X)=1.
试证明:
设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有
,
则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).
设mE>0,fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列,而当n→∞时fn(x)在E上几乎处处收敛,则存在常数C与正测度集,使在E0上,对一切n有|fn(x)|≤C。
68.2 | 71.6 | 69.3 | 71.6 | 70.4 | 65.0 | 63.6 | 64.4 |
65.3 | 64.2 | 67.6 | 66.8 | 66.8 | 68.9 | 68.6 | 70.1 |
要求:(1)将这个时间数列中的测度值分为大于样本平均数的测度值和小于样本平均数的测度值,然后运用游程检验确定连续观察值是否表明该生产过程缺乏稳定性。
(2)将时间周期分为两个相等的部分,并运用t检验比较两个平均数。分析数据是否表明质量特征的平均水平发生了改变。(假定这两部分的数据都来自正态总体,并且方差相等)
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
假定μ(Ω)=1且h:Ω→[0,∞]是可测的.若,证明.若μ是[0,1]上的Lebesgue测度并且h是连续的,h=f',则上面的不等式有一个简单的几何解释.试从这点推测在什么条件下上面不等式的等号能够成立,并且证明你的推测.
试证明:
设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.
设f是可测空间X上的实函数,使对每个有理数r,(x:f(x)≥r}是可测的,证明f是可测的.