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[主观题]
设（1）G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表（2）试找出G的所有子群（3）证明G的所有子群都是正
设
（1）G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表
（2）试找出G的所有子群
（3）证明G的所有子群都是正规子群
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（1）G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表
（2）试找出G的所有子群
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检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
7)集合与加法同6)，数量乘法定义为
8)全体正实数R+，加法与数量乘法定义为
A.〈Q-{0},×〉，其中Q为有理数集，×为普通乘法
B.〈G,•〉，其中G={所有n阶可逆方阵}，•是G上的矩阵乘法运算
C.〈R,+〉其中R为实数集，+为普通加法
D.〈Z,+〉,其中Z为整数集，+为普通加法
判断下列集合对所拾的二元运算是否封闭:
(1)整数集合Z和普通的减法运算
(2)非零整数集合Z*和普通的除法运算
(3)全体n×n附实矩阵集合MN(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2
(4)全体n×n对实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2
A.m[1,n-1]
B.m[1,n+1]
C.m[0,n]
D.m[1,n]
设G={a,b,c,d,e,f},G上的运算*定义如表5-3所示：
(1)写出子群〈a〉；
(2)证明〈a〉*c=c*〈a〉；
(3)找出所有含有2个元素的子群；
(4)求|G/〈d〉|；
(5)求〈d〉的右陪集。
检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:
(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;
(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.
(3)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为
其中a,b∈R+,k∈R.
设A={a,b,c}，○为A上的二元运算,且
(1)找出A上所有的双射函数.
(2)说明这些函数是否为<A,○>的自同构,为什么？
设
其中
(1)证明A的全体实系数多项式,对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.
(2)求这个线性空间的维数及一组基
运算*为矩阵的乘法，证明(G，*)是群。
