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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设g（·)是可测集G上的可测函数，如果对任何 f∈LP（G) （1＜P＜∞)， g（·)f（·)可积，则g∈Lq（G)，这里P，q互为相伴数。

设g(·)是可测集G上的可测函数，如果对任何

f∈L^P(G) (1＜P＜∞)，

g(·)f(·)可积，则g∈L^q(G)，这里P，q互为相伴数。

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第1题

设f（x)是E上的可测函数，G，F分别为R中的开集与闭集。试问E（f∈G)，E（f∈F)是否可测？这里记号E（f∈A)=E（x:f（x)∈A)。

设f(x)是E上的可测函数，G，F分别为R中的开集与闭集。试问E(f∈G)，E(f∈F)是否可测？这里记号E(f∈A)=E(x:f(x)∈A)。

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第2题

设f(t)是[a,b]上的L可测函数,p≥1,若对一切g∈L^P[a,b],函数f(t)g(t)都在[a,b]上L可积,则f∈L^P[a,b],其中

设f（t)是[a,b]上的L可测函数,p≥1,若对一切g∈L^P[a,b],函数f（t)g（t)都在[a,b]上L可积,则f∈L^P[a,b],其中

设f（t)是[a,b]上的L可测函数,p≥1,若对一切g∈LP[a,b],函数f（t)g（t)都在[

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第3题

试证明：设f（x)，g（x)是[0，∞)上非负递增函数，φ（x)，ψ（x)是[0，∞)上非负可测函数，则对a＜b，有．

试证明：

设f(x)，g(x)是[0，∞)上非负递增函数，φ(x)，ψ(x)是[0，∞)上非负可测函数，则对a＜b，有

$试证明：设f（x)，g（x)是[0，∞)上非负递增函数，φ（x)，ψ（x)是[0，∞)上非负可测$

$试证明：设f（x)，g（x)是[0，∞)上非负递增函数，φ（x)，ψ（x)是[0，∞)上非负可测$ ．

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第4题

试证明：设f（x)，g（x)是上的可测函数，m（E)＜＋∞．若f（x)＋g（y)在E×E上可积，则f∈L（E)，g∈L（E)．

试证明：

设f(x)，g(x)是E上的可测函数，m(E)＜+∞．若f(x)+g(y)在E×E上可积，则f∈L(E)，g∈L(E)

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第5题

试证明：设．（i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m*（G＼E)＜ε，则E是可测集．（ii)若对任给ε＞0，存在闭集F：且m（E＼F)＜ε，则

试证明：

设 $试证明：设．（i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m*（G＼E)＜ε，则E是可测集．（ii)若对任$ ．(i)若对任给ε＞0，存在开集G： $试证明：设．（i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m*（G＼E)＜ε，则E是可测集．（ii)若对任$ 且m^*(G＼E)＜ε，则E是可测集．(ii)若对任给ε＞0，存在闭集F： $试证明：设．（i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m*（G＼E)＜ε，则E是可测集．（ii)若对任$ 且m(E＼F)＜ε，则E是可测集．

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第6题

设m*（E)＜∞，试证明存在Gδ型集H: ，使得对于任一可测集A，都有m*（E∩A)=m（H∩A)．

设m^*(E)＜∞，试证明存在G_δ型集H: $设m*（E)＜∞，试证明存在Gδ型集H: ，使得对于任一可测集A，都有m*（E∩A)=m（H∩A)．$ ，使得对于任一可测集A，都有m^*(E∩A)=m(H∩A)．

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第7题

设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：

设f，f_n(n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，

并且

$设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：设f，fn(n∈N$

试证： $设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：设f，fn(n∈N$

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第8题

设f是上Lebesgue可测的非负实函数，令 A（f)={（x，y)：x∈，0＜y＜f（x)}．证明A（f)是中的Lebesgue可测集，且A（f)的Le

设f是 $设f是上Lebesgue可测的非负实函数，令 A（f)={（x，y)：x∈，0＜y＜f（x)}．证$ 上Lebesgue可测的非负实函数，令

A(f)={(x，y)：x∈ $设f是上Lebesgue可测的非负实函数，令 A（f)={（x，y)：x∈，0＜y＜f（x)}．证$ ，0＜y＜f(x)}．证明A(f)是 $设f是上Lebesgue可测的非负实函数，令 A（f)={（x，y)：x∈，0＜y＜f（x)}．证$ 中的Lebesgue可测集，且A(f)的Lebesgue测度为m(A(f))= $设f是上Lebesgue可测的非负实函数，令 A（f)={（x，y)：x∈，0＜y＜f（x)}．证$

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第9题

试证明：设F∈L（[0，∞))，g（x)在[0，∞)上可测，若存在M＞0.使得|g（x)/x|≤M（0＜x＜+∞)，则．

试证明：

设F∈L([0，∞))，g(x)在[0，∞)上可测，若存在M＞0.使得|g(x)/x|≤M(0＜x＜+∞)，则

$试证明：设F∈L（[0，∞))，g（x)在[0，∞)上可测，若存在M＞0.使得|g（x)/x|≤$ ．

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第10题

设f是可测空间X上的实函数，使对每个有理数r，（x:f（x)≥r}是可测的，证明f是可测的．

设f是可测空间X上的实函数，使对每个有理数r，(x:f(x)≥r}是可测的，证明f是可测的．

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第11题

设f（x)，fk（x)（k=1，2，…)是E上实值可测函数，若对任给ε＞0，以及δ＞0，存在E中可测子集e以及K，使得m（E\e)＜δ，且

设f(x)，f_k(x)(k=1，2，…)是E上实值可测函数，若对任给ε＞0，以及δ＞0，存在E中可测子集e以及K，使得m(E\e)＜δ，且有

|f_k(x)-f(x)|＜ε (k＞K，x∈e)．

试问这是哪种意义下的收敛？

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