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设x1=a＞0， x2=b＞0，（n=1,2，…)，求
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设总体X～N(μ，1)，x1，x2，…，x10，是X的样本观察值，要在α=0.05的水平下，检验假设H0：μ=0；H1：μ≠0，拒绝域为R={|
设f(x)在[a,b]上连续,x1,x2,x3.xn∈[a,b],且t1+t2+t3+.+tn=1,ti＞0,i=1,2,3...,n.证明：存在x0∈[a,b],使得f(x0)=t1f(x1) + t2f(x2) + .+ tnf(xn).
利用归结原则证明：lim n→无穷 (1+1/n+1/n^2)^n=e.
设f(x)在[a，b]上连续，xi∈[a，b]，ti＞0(i=12，…，n)，且∑i=1n=1，试证至少存在一点ξ∈[a，b]使
f(ξ)=t1f(x1)+t2f(x2)+…+tnf(xn)．
设总体X服从(0，θ)(θ＞0)上的均匀分布，X1，X2，…，Xn为其样本，X(1)=
设两序列分别为
x2(n)=x1(n-2)+w(n)
式中：w(n)是均值为0、方差为1的高斯白噪声序列。计算x1(n)和x2(n)之间的相关函数。
设马氏链{Xn，n≥0}的状态空间为I={1，2，3}，初始分布为
一步转移概率矩阵为
(1) 计算P{X0=1，X1=2，X2=2}．
(2) 证明P{X1=2，X2=2|X0=1}=p12p22．
(3) 计算P12(2)=P{X2=2|X0=1}．
(4) 计算p2(2)=P{X2=2}．
设总体的概率密度为
其中θ(0＜θ＜1)为未知参数，又设(X1，X2，…，Xn)为来自该总体的样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，求θ的矩估计和最大似然估计．
设总体X的概率密度为.
其中9是未知参数(0＜ 0＜1)X1,X2…Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值X1,X2…Xn中小于1的个数，求:
(1)
的矩估计:
(2)
的最大似然估计.
设总体X～N(μ，σ2)，其中μ未知，σ2已知，(X1，X2，…，Xn)为来自该总体的样本，对假设H0：μ=μ0
H1：μ=μ1(μ1＞μ0)，及显著性水平α，取检验法的拒绝域为
，令β为该检验法犯第二类错误的概率，证明
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0． 证明对于(a，b)内任意两点x1、x2及0≤t≤1，有f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2)．
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f''(x)≥0，证明对于(a，b)内任意两点x1，x2及0＜t≤1有
f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2).
