求下列差分方程所描述的LTI离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 （1)y（k)一2y（k一1)=f

(1)零输入响应y_zi(k)满足 y_zi(k)一2y_zi(k一1)=0 特征根为λ=2。则其齐次解为 y(k)=C_zi(2)^k 将初始状态y_zi(﹣1)=y(﹣1)= 一1代入可得 y_zi(﹣1)=0．5 C_zi= ﹣1 可解得C_zi= ﹣2因此得系统的零输入响应 y_zi(k)= ﹣(2)_k＋1k≥0 零状态响应y_zs(k)满足 y_zs(k)一2y_zs(k一1)=2k≥0 ① y_zs(﹣1)＝0 令式①中k=0有 y_zs(0)一2y_zs(﹣1)=2 解得初始值y_zs(0)=2。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解故 y_zs(k)=y_zsh(k) ＋y_zsp(k) k≥0 其中齐次解y_zsh(k)=C_zsh(2)^k特解y_zsp(k)=P满足式①代入式①可求得P＝﹣2所以 y_zs(k)=C_zsh(2)^k一2 k≥0 将初始值y_zs(0)=2代人上式有 y_zs(0)=C_zsh一2=2 解得C_zsh=4于是系统的零状态响应 y_zs(k)=4(2)^k一2 k≥0 系统的全响应 y(k)=y_zi(h)＋y_zs(k)＝一(2)^k＋1＋4(2)^k一2=(2)^k＋1一2k≥0 (3)零输入响应y_zi(k)满足 y_zi(k)+2y_zi(k一1)=0 特征根为λ=一2则其齐次解为 y(k)=C_zi(﹣2)^k 将初始状态y_zi(﹣1)=y(﹣1)= ﹣1代入可得 y_zi(﹣1)= ﹣0．5 C_zi= ﹣1 可解得C_zi=2因此得系统的零输入响应 y_zi(k)=2(﹣2)_k k≥0 零状态响应y_zs(k)满足 y_zs(k) ＋2y_zs(k一1)=3k＋4k≥0 ② y_zs(﹣1)=0 令式②中k=0有 y_zs(0) ＋2_zs(﹣1)=4 解得初始值y_zs(0)=4。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解故 y_zs(k)＝y_zsh(k) ＋y_zsp(k) k≥0 其中齐次解y_zsh(k)=C_zsh(﹣2)_k特解y_zsp(k)＝P₁k＋P₀满足式②代人式②可求得P₁=1P₀=2所以 y_zs(k)=C_zsh(﹣2)^k＋k＋2 k≥0 将初始值y_zs(0)=4代入上式有 y_zs(0)=C_zsh＋2=4 解得C_zsh=2于是系统的零状态响应 y_zs(k)=2(﹣2)^k＋k＋2 k≥0 系统的全响应 y(k)=y_zi(k) ＋y_zs(k)=2(﹣2)^k＋2(﹣2)^k＋k＋2=4(一2)^k＋k＋2 k≥0 (5)零输入响应y_zi(k)满足 y_zi(k) ＋2y_zi(k一1) ＋y_zi(k一2)=0 特征根为λ₁=λ₂=﹣1则其齐次解为 y(k)=C_zi1(﹣1)^k＋C_zi2k(﹣1)_k 将初始状态y_zi(﹣1)=y(﹣1)=3y_zi(﹣2)=y(﹣2)＝﹣5代入可得 y_zi(﹣1)= ﹣C_zi1＋C_zi2=3 y_zi(﹣2)=C_zi1一2C_zi2=﹣5 可解得C_zi1=﹣1C_zi2=2因此得系统的零输入响应 y_zi(k)＝(2k一1)( ﹣1)^k 零状态响应y_zs(k)满足 y_zs(k) ＋2y_zs(k一1) ＋y_zs(k一2)=3(0．5)^k k≥0 ③ y_zs(﹣1)＝0 y_zs(﹣2)=0 令式③中k=01有 y_zs(0) ＋2y_zs(﹣1) ＋y_zs(﹣2)=3 y_zs(1) ＋2y_zs(0) ＋y_zs(﹣1)＝1．5 解得初始值y_zs(0)=3y_zs(1)= 一4．5。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解故 y_zs(k)=y_zsh(k) ＋y(k) k≥0 其中齐次解y_zsh(k)=C_zsh1(﹣1)^k＋C_zsh2k(﹣1)^k 特解y_zsp(k)=P₀(0．5)_k满足式③代入式③可求得P₀=1／3所以
(1)零输入响应yzi(k)满足yzi(k)一2yzi(k一1)=0特征根为λ=2。则其齐次解为y(k)=Czi(2)k将初始状态yzi(﹣1)=y(﹣1)=一1代入,可得yzi(﹣1)=0．5Czi=﹣1可解得Czi=﹣2,因此得系统的零输入响应yzi(k)=﹣(2)k＋1,k≥0零状态响应yzs(k)满足yzs(k)一2yzs(k一1)=2,k≥0①yzs(﹣1)＝0令式①中k=0,有yzs(0)一2yzs(﹣1)=2解得初始值yzs(0)=2。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解,故yzs(k)=yzsh(k)＋yzsp(k),k≥0其中齐次解yzsh(k)=Czsh(2)k,特解yzsp(k)=P满足式①,代入式①可求得P＝﹣2,所以yzs(k)=Czsh(2)k一2,k≥0将初始值yzs(0)=2代人上式,有yzs(0)=Czsh一2=2解得Czsh=4,于是系统的零状态响应yzs(k)=4(2)k一2,k≥0系统的全响应y(k)=yzi(h)＋yzs(k)＝一(2)k＋1＋4(2)k一2=(2)k＋1一2,k≥0(3)零输入响应yzi(k)满足yzi(k)+2yzi(k一1)=0特征根为λ=一2,则其齐次解为y(k)=Czi(﹣2)k将初始状态yzi(﹣1)=y(﹣1)=﹣1代入,可得yzi(﹣1)=﹣0．5Czi=﹣1可解得Czi=2,因此得系统的零输入响应yzi(k)=2(﹣2)k,k≥0零状态响应yzs(k)满足yzs(k)＋2yzs(k一1)=3k＋4,k≥0②yzs(﹣1)=0令式②中k=0,有yzs(0)＋2zs(﹣1)=4解得初始值yzs(0)=4。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解,故yzs(k)＝yzsh(k)＋yzsp(k),k≥0其中,齐次解yzsh(k)=Czsh(﹣2)k,特解yzsp(k)＝P1k＋P0满足式②,代人式②可求得P1=1,P0=2,所以yzs(k)=Czsh(﹣2)k＋k＋2,k≥0将初始值yzs(0)=4代入上式,有yzs(0)=Czsh＋2=4解得Czsh=2,于是系统的零状态响应yzs(k)=2(﹣2)k＋k＋2,k≥0系统的全响应y(k)=yzi(k)＋yzs(k)=2(﹣2)k＋2(﹣2)k＋k＋2=4(一2)k＋k＋2,k≥0(5)零输入响应yzi(k)满足yzi(k)＋2yzi(k一1)＋yzi(k一2)=0特征根为λ1=λ2=﹣1,则其齐次解为y(k)=Czi1(﹣1)k＋Czi2k(﹣1)k将初始状态yzi(﹣1)=y(﹣1)=3,yzi(﹣2)=y(﹣2)＝﹣5代入,可得yzi(﹣1)=﹣Czi1＋Czi2=3yzi(﹣2)=Czi1一2Czi2=﹣5可解得Czi1=﹣1,Czi2=2,因此得系统的零输入响应yzi(k)＝(2k一1)(﹣1)k零状态响应yzs(k)满足yzs(k)＋2yzs(k一1)＋yzs(k一2)=3(0．5)k,k≥0③yzs(﹣1)＝0,yzs(﹣2)=0令式③中k=0,1,有yzs(0)＋2yzs(﹣1)＋yzs(﹣2)=3yzs(1)＋2yzs(0)＋yzs(﹣1)＝1．5解得初始值yzs(0)=3,yzs(1)=一4．5。系统的零状态响应是非齐次方程的完全解,故yzs(k)=yzsh(k)＋y(k),k≥0其中,齐次解yzsh(k)=Czsh1(﹣1)k＋Czsh2k(﹣1)k特解yzsp(k)=P0(0．5)k满足式③,代入式③可求得P0=1／3,所以