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[主观题]

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，证明D（T*)={θ}当且仅当T的图像G（T)在H×H中稠

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，证明D(T^*)={θ}当且仅当T的图像G(T)在H×H中稠

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第1题

设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明（ST)*T*S*；若D（S)=H且S是有界的，证明（ST)*=T*S*．

设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明(ST)^* $设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明（ST)*T*S*；若D（S)=H$ T^*S^*；若D(S)=H且S是有界的，证明(ST)^*=T^*S^*．

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第2题

设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，假定T-1存在且是稠定的，证明T-1的Cayley变换是-

设H是Hilbert空间，T：D(T) $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，假定T-1存在且$ H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，假定T^-1存在且是稠定的，证明T^-1的Cayley变换是-U^-1．

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第3题

设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，证明φ（σ（T))=σ（U)\{1}

设H是Hilbert空间，T：D(T) $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，证明φ（σ（T)$ H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换， $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，证明φ（σ（T)$ 证明φ(σ(T))=σ(U)\{1}

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第4题

设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证：若A与AA*可交换，则A为正规算子，且当A不为紧算子时，这个结论一般不成立。

设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证：若A与AA^*可交换，则A为正规算子，且当A不为紧算子时，这个结论一般不成立。

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第5题

设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：， x∈H 定义了H上的正规算子[这样的算

设H为可分Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{k_n}为有界纯量列求证：

$设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：， x∈H$ ， x∈H

定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。

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第6题

在Hilbert空间上构造一个稠定闭算子使其谱为空集．

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第7题

设H是复Hilbert空间，．证明：

设H是复Hilbert空间，设H是复Hilbert空间，．证明：设H是复Hilbert空间，．证明：．证明：

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第8题

设A∈BL（H)，其中H为Hilbert空间，W（A)为A的数值域。求证：（a) （b)A为自伴的（c)（b)的逆命题不成立。（d)设A

设A∈BL(H)，其中H为Hilbert空间，W(A)为A的数值域。求证：

(a) $设A∈BL（H)，其中H为Hilbert空间，W（A)为A的数值域。求证：（a) （b)A为自$

(b)A为自伴的 $设A∈BL（H)，其中H为Hilbert空间，W（A)为A的数值域。求证：（a) （b)A为自$

(c)(b)的逆命题不成立。

(d)设A为自伴的，则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。

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第9题

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a) （b)

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a) $设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a)$

(b) $设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a)$

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第10题

设H为复Hilbert空间，W为所有BL（H)中自伴算子之集，W1为BL（H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记 U（A)=（A-iI)（A

设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W₁为BL(H)中所有酉算子B之集使得 $设H为复Hilbert空间，W为所有BL（H)中自伴算子之集，W1为BL（H)中所有酉算子B之集使得$ 。若A∈W，记

U(A)=(A-iI)(A+iI)¹

求证：U为从W到W₁的一一映射，其逆由下式给出：

U^-1(B)=i(I+B)(I-B)^-1， B∈W₁

[U(A)被称为A的Cayley变换。]

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