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[主观题]

设n阶实对称矩阵A的特征值证明:存在特征值都是非负数的实对称矩阵B,使得A=B²

设n阶实对称矩阵A的特征值设n阶实对称矩阵A的特征值证明:存在特征值都是非负数的实对称矩阵B,使得A=B2设n阶实对称矩阵A 证明:存在特征值都是非负数的实对称矩阵B,使得A=B²

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第1题

设A是n阶实对称矩阵，且|A|＜0。证明存在实n维向量x，使得x^TAx＜0。

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第2题

若A为n阶实对称阵，B为n阶实矩阵，且A与A-B^TAB均为正定矩阵，λ是B的一个实特征值，证明|λ|＜1。

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第3题

设n阶实对称矩阵A的特征值为λ₁，…，λ_n，α是A的属于特征值λ₁的单位特征向量，矩阵B=A–λ₁αα^T。求B的全部特征值。

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第4题

设A为3阶实对称矩阵，且满足A²+2A=O。已知r(A)=2。(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。

设A为3阶实对称矩阵，且满足A²+2A=O。已知r（A)=2。（1)求A的全部特征值;（2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。

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第5题

设A为n阶实对称矩阵，证明r(A)=r(A²)。

设A为n阶实对称矩阵，证明r（A)=r（A²)。

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第6题

设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak=0，证明A的特征值均为0．

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第7题

设n阶方阵A≠O，满足A^m=O，(m为正整数)。(1)求A的特征值;(2)证明A不能相似于对角矩阵;(3)证明|E+A|=1。

设n阶方阵A≠O，满足A^m=O，（m为正整数)。（1)求A的特征值;（2)证明A不能相似于对角矩阵;（3)证明|E+A|=1。

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第8题

设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵．

设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B^TAB也是对称矩阵．

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第9题

设A为3阶对称阵，A的秩r(A)=2，且满足条件A³+2A²=O。(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时，A+kE为正定矩阵。

设A为3阶对称阵，A的秩r（A)=2，且满足条件A³+2A²=O。（1)求A的全部特征值;（2)当k为何值时，A+kE为正定矩阵。

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第10题

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=r，且A²=A。求|E+A+…+A^k|。

设A为n阶实对称矩阵，r（A)=r，且A²=A。求|E+A+…+A^k|。

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第11题

设A为n阶方阵(未必是对称的)，x=(x₁，x₂，…，x_n)^T，证明：二次型ƒ(x)=x^TAx的矩阵为(A+A^T)/2。

设A为n阶方阵（未必是对称的)，x=（x₁，x₂，…，x_n)^T，证明：二次型ƒ（x)=x^TAx的矩阵为（A+A^T)/2。

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