设n∈,fn:X→[0,∞]是可测的,对x∈X有fn≥fn+1当n→∞时,fn(x)→f(x),且f1∈L1(μ).证明,并说明若省去条件f1∈L1(μ),这
设n∈,fn:X→[0,∞]是可测的,对x∈X有fn≥fn+1当n→∞时,fn(x)→f(x),且f1∈L1(μ).证明,并说明若省去条件f1∈L1(μ),这个结论推不出来.
设n∈,fn:X→[0,∞]是可测的,对x∈X有fn≥fn+1当n→∞时,fn(x)→f(x),且f1∈L1(μ).证明,并说明若省去条件f1∈L1(μ),这个结论推不出来.
设mE>0,fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列,而当n→∞时fn(x)在E上几乎处处收敛,则存在常数C与正测度集,使在E0上,对一切n有|fn(x)|≤C。
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
证明:若函数f1(x),f2(x),...,fn(x)在x皆可导,且在x皆不为0,设
g(x)=f1(x)f2(x)...fn(x),则函数g(x)在x也可导,且
设μ是X上的正测度,fn∈Lp(μ)(n∈),且‖fn-f‖p→0,证明,这里1≤p≤∞;并研究此命题的逆命题是否为真.
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有
.
设中边值问题
的古典解.v(x,t)是有界可测函数,v(x,t)满足估计|v|≤C,C>0是给定常数.
是否可以选择函数v(x,t),使得对所有的t>t*有u(x,t)三0?其中t*是某个正的常数.
设fn∈Lp(E)(1≤p<∞,n∈N),试证明下列命题等价:
(i)存在f∈Lp(E),使得
.
(ii)存在f∈Lp(E),使得fn(x)在E上依测度收敛于f(x),而且Γ={|fn(x)|p}具有积分一致绝对连续性,即对任给ε>0,存在δ>0,使得
(n∈N,且m(e)<δ).
试证明:
设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有
,
则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).