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X,有IXx=x,对于每一个y∈Y,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射g=f-1.
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设映射f：X→Y，若存在一个映射g：Y→X，使
，其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射，即对于每一个x∈X，有IXx=x；对于每一个y∈Y，有IYy=y．证明：f是双射，且g是f的逆映射：g=f-1．
设映射f:X→Y,A X,B
X.证明
(1)(A
B)=f(A)f(B);
(2)f(A
B) f(A)f(B).
设映射f:X→Y,A
X,BX.证明
(1)f(AUB)=f(A)Uf(B);
(2)f(A∩B)f(A)∩f(B).
设D为开区域，f(x，y)，g(x，y)均为D上的可微函数，且在D内的任一点处，g的梯度不为零向量，又设Γ是由g(x，y)=C定义的曲线(这里C为某一实常数)，且(x0，y0)是曲线Γ上一点，若点(x0，y0)是f(x，y)限制在Γ上的最大值点(或者最小值点)，试证存在实数λ使
证明存在有界线性映射F：c→c，它不能由无穷矩阵(kij)用下面形式来表示，对每个x∈c，
这个级数对所有i及x都收敛。
试证明：
设映射f:R2→R2满足：若x1，x2∈R2且d(x1，x2)∈Q+时有d(f(x1)，f(x2))=d(x1，x2)，则对一切x1，x2∈R2均有
d(f(x1)，f(x2))=d(x1，x2).
试证明：
设F∈L([0，∞))，g(x)在[0，∞)上可测，若存在M＞0.使得|g(x)/x|≤M(0＜x＜+∞)，则
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．
.证明
证明：
