设函数f(x)定义在区间1上,如果对于任何证明:在区间I的任何闭子区间上f(r)有界.
设函数f(x)定义在区间1上,如果对于任何
证明:在区间I的任何闭子区间上f(r)有界.
设函数f(x)定义在区间1上,如果对于任何
证明:在区间I的任何闭子区间上f(r)有界.
设函数F(x),G(x)在(-∞,+∞)上均有定义,且满足:
(1)对任给x,y∈(-∞,+∞),有
F(x+y)=F(x)G(y)+F(y)G(x)
(2)F(0)=0,F'(0)=1,G'(0)=0证明:函数F(x)在(-∞,+∞)上可导,且F'(x)=G(x)
1 设初等函数f(x)在区间[a,b]有定义,则f(x)在[a,b]上一定( ).
(A)可导 (B)可微 (C)可积 (D)不连续
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:对于任意给定的正数a,b,在开区间(0,1)内存在不同的点ξ和η,使得
设f(x)是定义于长度不小于2的闭区间I上的实函数,满足|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1,x∈I,证明:当x∈I时,总有|f'(x)|≤2
设定义在[a,+∞)上的函数f在任何闭区间[a,b]上有界定义[a,+∞)上的函数:
试讨论m(x)与M(x)的图象,其中
设f(x)是定义在[a,b]上的二阶可导函数,对任意的x∈[a,b],f(x)≥0,f"(x)≥0.若f(x)在[a,b]的任一子区间上不恒为0,则f(x)=0在[a,b]上最多只有一个根.
关于二重极限有下列两种定义,试分析比较它们之间的差异何在?
定义1 设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,δ)时,都有
|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε
成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限.
定义2 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式
的一切点P(x,y)∈D,都有
|f(x,y)-A|<ε
成立,刚称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限.
设函数f(x)在闭区间[0,c]上具有单调减少的导数f'(x),且f(0)=0,试证:对于满足不等式0<a<b<a+b<c的a,b,恒有
f(a)+f(6)>f(a+b)
设函数y=f(x)在区间[a,b)]上可导,且f(a)≠f(b).试证,在(a,b)内存在两两互异的n个点ξ1,ξ2,…,ξn,使