题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设A为n阶矩阵（n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：
设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：
答案
(1)当R(A)=n时R(A*)=n．
由于|A*|=|A|n-1
于是R(A)=n|A|≠0A*是n阶满秩矩阵
即R(A*)=n．
(2)当R(A)＜n一1时R(A*)=0．
事实上由矩阵秩的定义知此时A的所有n—1阶子式即A*的任一元素均为零于是A*=O从而R(A*)=0．
(3)当R(A)=n一1时R(A*)=1．
此时由矩阵秩的定义A中至少有一个n一1阶子式不为零亦即A*中至少有一元素不为零故R(A*)≥1．
反过来因R(A)=n一1A不是满秩矩阵于是|A|=0．由AA*=|A|E知AA*=0．
于是可得 R(A)+R(A*)≤n
把R(A)=n一1代入上式成为R(A*)≤1
综合以上两个关于R(A*)的不等式便有R(A*)=1．
(1)当R(A)=n时,R(A*)=n．由于|A*|=|A|n-1于是R(A)=n,|A|≠0,A*是n阶满秩矩阵,即R(A*)=n．(2)当R(A)＜n一1时,R(A*)=0．事实上,由矩阵秩的定义知,此时,A的所有n—1阶子式即A*的任一元素均为零,于是A*=O,从而R(A*)=0．(3)当R(A)=n一1时,R(A*)=1．此时,由矩阵秩的定义,A中至少有一个n一1阶子式不为零,亦即A*中至少有一元素不为零,故R(A*)≥1．反过来,因R(A)=n一1,A不是满秩矩阵,于是,|A|=0．由AA*=|A|E知,AA*=0．于是可得R(A)+R(A*)≤n,把R(A)=n一1代入,上式成为R(A*)≤1,综合以上两个关于R(A*)的不等式,便有R(A*)=1．
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则C的伴随矩阵C=_____
．
