是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
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第1题
设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL（X，Y)，赋有范数 ‖F‖=sup{‖F（x)‖：x∈X
设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数
‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)
是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。
第2题
设x为Banach空间，在X'中。求证：{x'n}为X'中的有界列。证明在上面的结论中，X的完备性是必要的。
设x为Banach空间，在X'中
。求证：{x'n}为X'中的有界列。证明在上面的结论中，X的完备性是必要的。
．证明
，且indT*=-indT．
第4题
设X为Banach空间，A，B∈BL（X)。求证：若B为紧的，则除掉特征值外A的谱和A+B的谱相等。
设X为Banach空间，A，B∈BL(X)。求证：若B为紧的，则除掉特征值外A的谱和A+B的谱相等。
第5题
设X为Banach空间，A∈BL（X)，对某个正整数m有‖Am‖＜1。求证：I-A在BL（X)中可逆。由此推出若‖A‖＜|k|。则
设X为Banach空间，A∈BL(X)，对某个正整数m有‖Am‖＜1。求证：I-A在BL(X)中可逆。由此推出若‖A‖＜|k|。则
第6题
设X和Y为赋范空间，φ：为共轭双线性泛函。对x∈X， y∈Y，令 求证： （a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。 （b)若
设X和Y为赋范空间，φ：
y∈Y，令
求证：
(a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有fy∈X'，fx∈Y'
(c)若任取x∈X，y∈Y，有fy∈X'，fx∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
第9题
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证： ， x∈H 定义了H上的正规算子[这样的算
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。
第10题
设Hp（0＜p≤1)表示[a，b]上满足p次利普希茨条件 |x（t1)-x（t2)|≤M|t1-t2|p（t1，t2∈[a，b])的函数全体，线性运算的
设Hp(0＜p≤1)表示[a，b]上满足p次利普希茨条件
|x(t1)-x(t2)|≤M|t1-t2|p(t1，t2∈[a，b])的函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在Hp中定义范数于下：
证明：Hp按照‖·‖是巴拿赫空间。HP是否可分？
第11题
称线性空间X的非空子集E是平衡的，若对于x∈E，k∈K且|k|≤1，总有kx∈E。称E是吸收的，若对任意x∈X，都存在r＞0，使得r
-1x∈E。设E是凸平衡吸收的；而且没有X的非零子空间含在E中.取x∈X，令
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‖x‖=inf{r＞0：r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数，且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
