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[主观题]
设X，Y为Banach空间，．证明 ，且indT*=－indT．
设X，Y为Banach空间，
．证明
，且indT*=-indT．
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设x为Banach空间，在X'中
。求证：{x'n}为X'中的有界列。证明在上面的结论中，X的完备性是必要的。
设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数
‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)
是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。
设X和Y为赋范空间，φ：
y∈Y，令
求证：
(a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有fy∈X'，fx∈Y'
(c)若任取x∈X，y∈Y，有fy∈X'，fx∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
设X为Banach空间，A，B∈BL(X)。求证：若B为紧的，则除掉特征值外A的谱和A+B的谱相等。
设X为Banach空间，A∈BL(X)，对某个正整数m有‖Am‖＜1。求证：I-A在BL(X)中可逆。由此推出若‖A‖＜|k|。则
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，
证明 下列命题等价：
(1)P是投影算子；
(2)P2=P且P是自共伴算子；
(3)P2=P，且N(P)上R(P)；
(4)若H是复空间，则还等价于
(Px，x)=‖Px‖2，x∈H
是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
，证明：
