已知平面ax+by+cz=0(abc≠0)与锥面xy+yz+xz=0的交线是两条正交的直线,证明:
已知平面ax+by+cz=0(abc≠0)与锥面xy+yz+xz=0的交线是两条正交的直线,证明:
由于平面Ⅱ和锥面S都过原点(0,0,0),所以,设其交线的一条直线方程为
,s=(m,n,p)
由于点(m,n,p)在交线上,所以有
从(1)和(2)中消去n得m,P的二次方程
即
am2+p(a-b+c)m+cp2=0
因为abc≠0,不妨设m≠0,于是,有
由韦达定理知,方程的两根应满足
,
类似地,从(1),(2)中消去p后,由韦达定理得
即
,
由于两交线正交,所以
m1·m2+P1·P2+n1·n2=0
而
所以